二进制的减法原理解析

这里需要说明的是，在计算机中做二进制数运算时，一定要明确是在多少位的整型前提下进行的，这样才能够正确处理位数溢出的问题。

其实减法也可以看成加法 6+（-4）

无论加减法总结：补码相加 结果再求补码

原码：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 0 表示正数，1 表示负数，其余位表示数字的值。
反码：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
补码：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 1 。

在计算机中，负数是使用它的补码来表示的。所谓补码，就是反码+1。所谓反码，就是二进制数逐位取反。所谓逐位取反，就是1变成0，0变成1。例如：

原来的二进制数： 1011011101101反码： 0100100010010补码： 0100100010011

在数学里面，当我们判断一个正数和负数的时候，是通过这个数字前面的负号来判断的，例如： 5和 -5。但是由于计算机里面只有0和1，如何表示负号呢？因此可以使用一个额外的1来表示。例如：

正数： 0101负数： 1101

其中最左边的0和1表示的是符号位，0为正数，1为负数。

如果到这里，你以为你看懂了，那么我问你一个问题，下面几个数有什么区别：

0101

00101

000101

0000101

00000101

下面几个数有什么区别：

1101

10101

100101

1000101

10000101

实际上，他们表示的是不同位数条件下的同一个数。因为在计算机中，你定义一个数字的时候，是需要先提前指定这个数的类型的。例如int型、long型等等。（即便你用的Python，不需要人工指定，但是在底层它也会自动指定）。所以，如果我直接说：数字5在计算机中是怎么储存的，是没有意义的。应该说，数字5在8位整型下面是怎么储存的、在32位整型下面是怎么储存的：

00000101 # 8位整型

00000000000000000000000000000101 # 32位整型

所以，对于-5，在8位整型和32位整型下面，他们是这样储存的：

10000101 # 8位整型

10000000000000000000000000000101 # 32位整型

在计算机中，一个正数的补码就是它自身，例如 00000101的补码还是 00000101，而负数的补码，就需要根据补码的规则进行计算，例如在8位整型下，-5的补码运算规则如下：

1.首先计算正5的二进制数：00000101

2.逐位取反：11111010

3.加1：1111011

数字零的原码有 +0 和 −0 两种表示方式。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码，这可能会带来歧义

在负零的反码基础上加 1 会产生进位，但 byte 类型的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 1 会被舍弃。也就是说，负零的补码为 00000000 ，与正零的补码相同。这意味着在补码表示中只存在一个零，正负零歧义从而得到解决。

接下来，例如我们在8位整型下，计算9-5的值，那么在计算机中，运算过程为：

1.求9的二进制补码（正数的补码就是它自身）：00001001

2.求5的二进制补码：11111011

3.两个补码相加：100000100

4.由于我们是在8位整型的环境下，所以最左边这个1被直接丢掉了（溢出），结果变成：00000100

5.对结果再求补码。由于结果00000100最左边是0，表示正数，所以补码是自身。因此二进制数00000100对应的十进制数为4，就是正确结果。

 

再来看看8位整型条件下：10 - 13 = -3的过程：

1.计算10的二进制数补码：00001010

2.-13的二进制补码：11110011

3.两个补码相加：11111101

4.对结果求补码，由于最左边这一位是1，表示负数，所以要把十进制负数转二进制补码的过程反过来

5.先转成十进制正数对应的二进制数：00000011为3

6.把负号加上：-3，答案正确

这里需要说明的是，在计算机中做二进制数运算时，一定要明确是在多少位的整型前提下进行的，这样才能够正确处理位数溢出的问题。

由于位数溢出，在计算机中才会出现两个正数相加，结果却是负数的情况。例如：

127 + 1，在数学上结果为128，但是在计算机中，8位整型的情况下，结果为-128。原因如下：

1.计算127对应的二进制补码：01111111

2.计算1对应的二进制补码：00000001

3.两个补码相加：10000000

4.由于结果的最左侧为1，表示负数，因此要把十进制负数转二进制补码的过程反过来

5.先转成十进制正数对应的二进制补码：10000000（没错，10000000的补码恰好还是10000000）也就是128

6.加上负号：-128

 

所以说了这么多，依然很迷糊

补码到底是怎么回事，补码为什么要通过原码过度到反码再过渡到补码？

假设现在有一个表盘，并且时针指向两点，那么逆时针扳动三小时是几点呢，答案是十一点。
换种思路，我顺时针扳动9个小时，答案也是11点。

逆时针为3个小时，顺时针是9个小时，小时数加起来正好是12个小时，用小学时期学习的的角度的180度角类似的知识可以得到，3和9就是互补的。而这个12科学家称之为模。
 

比如：

9-2=9+8-10；

127-45=127+55-100；

1-99945=1+55-100000；

25-1=25-（100-99）=-100+25+99=25+99-100  

只要忽略进位，+99 就能代替－1。+99 就称为－1 的补数。

在这里用了 2 位 10 进制。
 

求补数的算法：补数 = 负数 + 10^2。

通用的公式是：补数 = 负数 + 10^n。　n 是位数。

计算机用二进制，补数，就改名为：补码。

一个字节，是 8 位 2 进制。计数范围是：0000 0000 ~ 1111 1111(十进制 255)。计数周期是：2^8 = 256。当满256时要进位：1 00000000，因为进位，所以256的二进制相等同于0的二进制

补码的定义式：负数的补码＝负数＋2^n。这个公司和是不是和10进制的非常相同

那么：

－1 的补码＝－1 + 256 = 255 = 1111 1111。

－2 的补码＝－2 + 256 = 254 = 1111 1110。

 

那么为什么要通过反码来求补码呢？

我们随便找一个256以内的数字（假设位数是8位）来举例-------   -15

15的二进制： 00001111

15的反码：11110000

将原码和反码相加刚好是 1111111=255    x相当于 10进制的（15+240）

我们知道 了  反码+原码=255 ，那么 反码+原码+1 是不是刚好溢出=0000 0000

所以 反码+1 就等同于  补码  了

 

 

给个例子